组合数¶

学习目标¶

本节课将帮助你掌握：

组合数\(C^m_n\)的含义（Combination的首字母C）。
组合数的三种常见计算方法。
如何在区赛题目中正确使用组合思想。
完成几个典型的组合数计算练习题。

什么是“组合数”（Combination）？¶

在数学和信息学竞赛中，经常有类似问题：

“从n个不同的物品中选m个，不考虑顺序，有多少种选法？”

这种“选法的数量”就叫做组合数，写作：

\(C^m_n\)

字母C是英文Combination（组合）的首字母大写。

组合数重点在于： 只管选，不管顺序。 例如：选A和B，和选B和A，是同一种选法。

组合数的三种计算方法¶

这三种方法最适合小学高年级，也最常用于区赛第二轮。

方法一：列表法（直接列举）¶

例：从{A,B,C,D}选2个

列举全部可能：

A–B
A–C
A–D
B–C
B–D
C–D

共有6种。

适合“小规模”问题，也适合作为第一理解方式。

方法二：乘法原理（先算排列，再除重复）¶

例：从4个里选2个：

第一个位置4种
第二个位置3种 →4×3=12

因为A–B和B–A是同一种，重复了：

12÷2=6

这就是 \(C^2_4\) 的意义。

方法三：递推思想（选与不选法）¶

组合数满足：

\(C^k_n = C^{k-1}_{n-1} + C^k_{n-1}\)

解释：

如果选了第一个人：剩下n−1人选k−1
如果第一个人没选：剩下n−1人选k

这是一种非常重要的“结构化思维”，区赛中大量使用。

组合数计算练习【理论】¶

不仅要理解组合思想，还要能快速计算组合数。

练习1：使用“乘法原理+除重复”法¶

计算C(5,2)：从5个里选2个

步骤：

第一个位置：5种
第二个位置：4种
不计顺序→除以2

5×4÷2=10

练习2：区赛常见形式——“数字选取题”¶

从{1,2,3,4,5,6}中选3个数，一共有多少种？

直接使用组合思想即可：

这是纯组合题
C(6,3)=20

练习3：区赛常见限制类组合（计算+思维）¶

从{1,2,3,4,5}中选2个，使它们不相邻。

可用列表法：

1–3 1–4 1–5 2–4 2–5 3–5

共有6种。

练习4：三位数构造题¶

用{0,1,2,3}构成不同三位数，共有多少个？

思路：

百位不能为0→3种
十位：剩3种
个位：剩2种

3×3×2=18

这是组合与乘法原理结合的典型题型。

组合数公式【重点】¶

组合数公式不是凭空出现的，它来自一个非常简单的逻辑：“选 k 个人的排列里，重复了多少次同一组选法？”

我们从最基本的问题开始推导：

1. 从 \(n\) 个不同的人中，选出 \(k\) 个，并且给他们排顺序¶

也就是“排列”，通常记作：

\(A^k_n\)

排列数的公式是：

\(A^k_n=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)\)

这是因为：

第 1 个位置有 \(n\) 种选择
第 2 个位置有 \((n-1)\) 种选择
一直到第 \(k\) 个位置

2. 但组合不看顺序¶

组合只关心“选了谁”，不关心顺序。

例如：

A、B、C 三个人中选两人，

排列里有：

AB
BA

它们其实是同一组选法。

也就是说：

每一种组合，被排列“重复计算”了 \(k!\) 次。

因为 \(k\) 个人可以有：

\(k! = k \times (k-1) \times \cdots \times 1\)

种不同的排列方式。

3. 用排列去除重复，就得到组合数¶

组合数公式因此得到：

\(C(n,k)=\frac{A(n,k)}{k!}\)

4. 把排列 \(A(n,k)\) 的公式代入¶

排列的公式是：

\(A(n,k)=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)\)

代入组合数公式：

\(C(n,k)=\frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)}{k!}\)

5. 用阶乘写法简化，就得到经典形式¶

将上面式子写成阶乘形式，可以得到：

\(C(n,k)=\frac{n!}{k! (n-k)!}\)

这就是我们常见的组合数公式。

组合数公式的来源可以概括成一句话：

先算所有“按顺序选 k 个”的排列数量，再除以 “顺序造成的重复次数”。

这是一个完全来自“思维逻辑”的推导，而不是死记公式。

小结¶

本节课你学习了：

组合数C(n,m)来源于英文Combination，用于表示“从n个中选k个”的选法数量。
会用三种方法计算组合数：
列表法
乘法原理
递推思想
掌握了典型计算练习。
初步掌握组合数在“数字构造、条件限制、选法问题”中的应用。