信息学奥赛 | 一元二次方程，是什么？初三（上）数学¶
2023 年 CSP-J 第二轮认证，第三题，考察了一元二次方程。
题目以一元二次方程为背景，给出相关定义，请你利用求根公式，利用给出了系数，按格式要求输出方程的根。
此题，以数学知识为背景，综合考察了代码能力。
对于小学阶段的同学来说，一元二次方程是学校里，初三才上学的。
so what ？可爱的小学生怎么可以会？
抱着一颗勇敢的心，今天，我们将“一元二次方程”，拿下。
一、一元二次方程是什么¶
一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。
例如，
这些都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是：
其中，\(ax^2\) 是二次项，\(bx\) 是一次项，\(c\) 是常数项。\(a\not=0\) 是一个重要条件，否则就不能保证方程未知数的最高次数是二次了。
二、公式解法¶
对于 \(\(ax^2+bx +c = 0 ，a \not = 0\)\)
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}>0\)，则它的两个不等实数根可以表示为
\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，\(x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}=0\)，则它的两个相等实数根可以表示为
\(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\)
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}<0\)，则它的两个共轭复数根可以表示为
\(x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}i\)，\(x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a}i\)
三、公式解法的证明*¶
公式法，可以由配方法得出。
已知关于 \(x\) 的一元二次方程 \(\(ax^2+bx +c = 0 ，a \not = 0\)\)
移项，可得：
\(ax^2+bx=-c\)
将二次项系数化为 \(1\)，可得：
\(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)
配方，可得：
\(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\)
整理，
\((x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\)
看等式的右边，因为 \(a\not=0\)，所以看分子 \(b^2-4ac\) 开根号的分情况讨论。
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}>0\)，。。。
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}=0\)，。。。
若 \(\Delta=\sqrt{b^2-4ac}<0\)，。。。
三种情况依次讨论，和上面一样，不再赘述。
四、图像解法¶
一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的根的几何意义是二次函数 \(y=ax^2+bx+c\) 的图像（为一条抛物线）与 \(x\) 轴交点的坐标，即二次函数的零点。
五、实际问题与一元二次方程¶
一元二次方程可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。
分析，设每轮传染中平均一个人传染了 \(x\) 个人。
我们根据题意背景，列方程，如下
\(1 + x + (1+x)x = 121\)
解方程，得
\(x_1=10, x_2=-12(不符合题意，舍去)\)
平均一个人传染了 \(10\) 个人。
六、总结¶
- 小于小学生，方程如洪水猛兽，希望这句话不要成真，干就完了。
- 学习一个东西，不管它本应该几年级学，学会就完了。
- 如果这个山头有点难攻，我们采取多轮学习的方法，一轮一轮递进。
- 这一轮把基本概念、公式记住，下一轮把应用模仿做会，下一轮把证明弄懂。
- 同学们，是时候使用“费曼学习法”了！讲起来！
参考¶
- 一元二次方程 https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
- 《数学》九年级上册，人民教育出版社